حل تمرین صفحه 22 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 1 صفحه 22 ریاضی دوازدهم ### 1. تابع $f \circ g$ تابع $f \circ g$ زمانی تعریف می‌شود که دامنه آن از $D_g$ باشد و خروجی‌های $g$ در $D_f$ قرار بگیرند. $D_{f \circ g} = \{ x \in D_g \mid g(x) \in D_f \}$ $D_f = \{7, 5, 9, 11\}$, $R_g = \{7, 5, 9, 11\}$. تمام مقادیر $R_g$ در $D_f$ هستند، بنابراین $D_{f \circ g} = D_g = \{5, 3, 7, 9\}$. * $(f \circ g)(5) = f(g(5)) = f(7) = 8$ $\implies (5, 8)$ * $(f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(5) = 3$ $\implies (3, 3)$ * $(f \circ g)(7) = f(g(7)) = f(9) = 4$ $\implies (7, 4)$ * $(f \circ g)(9) = f(g(9)) = f(11) = 4$ $\implies (9, 4)$ $$\mathbf{f \circ g = \{ (5, 8), (3, 3), (7, 4), (9, 4) \}}$$ --- ### 2. تابع $g \circ f$ تابع $g \circ f$ زمانی تعریف می‌شود که دامنه آن از $D_f$ باشد و خروجی‌های $f$ در $D_g$ قرار بگیرند. $D_{g \circ f} = \{ x \in D_f \mid f(x) \in D_g \}$ $D_g = \{5, 3, 7, 9\}$ * $f(7) = 8$. (چون $8 \not\in D_g$، پس $x=7$ در دامنه $g \circ f$ نیست.) * $f(5) = 3$. (چون $3 \in D_g$، پس $x=5$ در دامنه است.) $$(g \circ f)(5) = g(f(5)) = g(3) = 5 \implies (5, 5)$$ * $f(9) = 4$. (چون $4 \not\in D_g$، پس $x=9$ در دامنه نیست.) * $f(11) = 4$. (چون $4 \not\in D_g$، پس $x=11$ در دامنه نیست.) $$\mathbf{g \circ f = \{ (5, 5) \}}$$

حل تمرین 2 صفحه 22 ریاضی دوازدهم ### الف) $f(x) = x^2 - 5$ ; $g(x) = \sqrt{x + 6}$ 1. **دامنه‌ها:** $D_g = [-6, +\infty)$, $D_f = \mathbb{R}$. 2. **ضابطه $(f \circ g)(x)$:** $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x + 6}) = (\sqrt{x + 6})^2 - 5 = x + 6 - 5 = \mathbf{x + 1}$$ 3. **دامنه $D_{f \circ g}$:** $D_{f \circ g} = \{ x \in D_g \mid g(x) \in D_f \}$ * $x \in [-6, +\infty)$. * $g(x) \in \mathbb{R}$. (همیشه برقرار است.) $$\mathbf{D_{f \circ g} = [-6, +\infty)}$$ --- ### ب) $f(x) = \sqrt{3 - 2x}$ ; $g(x) = \frac{6}{3x - 5}$ 1. **دامنه‌ها:** $D_f: 3 - 2x \ge 0 \implies x \le 3/2$. $D_f = (-\infty, 3/2]$. $D_g = \mathbb{R} - \{5/3\}$. 2. **ضابطه $(f \circ g)(x)$:** $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\frac{6}{3x - 5}) = \sqrt{3 - 2(\frac{6}{3x - 5})} = \sqrt{3 - \frac{12}{3x - 5}}$$ $$\sqrt{\frac{3(3x - 5) - 12}{3x - 5}} = \sqrt{\frac{9x - 15 - 12}{3x - 5}} = \mathbf{\sqrt{\frac{9x - 27}{3x - 5}}}$$ 3. **دامنه $D_{f \circ g}$:** $D_{f \circ g} = \{ x \in D_g \mid g(x) \in D_f \}$ * $x \ne 5/3$. * $g(x) \le 3/2$ (شرط رادیکال): $\frac{6}{3x - 5} \le \frac{3}{2}$. **روش جایگزین (از ضابطه نهایی):** $\frac{9x - 27}{3x - 5} \ge 0$ و $3x - 5 \ne 0$. * ریشه‌های صورت: $x = 3$. * ریشه‌های مخرج: $x = 5/3 \approx 1.66$. با تعیین علامت (مثبت-منفی-مثبت) نتیجه می‌شود: $x \in (-\infty, 5/3) \cup [3, +\infty)$. $$\mathbf{D_{f \circ g} = (-\infty, 5/3) \cup [3, +\infty)}$$ --- ### پ) $f(x) = \sqrt{x + 2}$ ; $g(x) = \sqrt{x^2 - 16}$ 1. **دامنه‌ها:** $D_f = [-2, +\infty)$. $D_g: x^2 - 16 \ge 0 \implies (x - 4)(x + 4) \ge 0$. $D_g = (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$. 2. **ضابطه $(g \circ f)(x)$:** $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x + 2}) = \sqrt{(\sqrt{x + 2})^2 - 16} = \mathbf{\sqrt{x + 2 - 16} = \sqrt{x - 14}}$$ 3. **دامنه $D_{g \circ f}$:** $D_{g \circ f} = \{ x \in D_f \mid f(x) \in D_g \}$ * $x \in [-2, +\infty)$. * $f(x) \in D_g$. یعنی $\sqrt{x + 2} \le -4$ (غیرممکن) **یا** $\sqrt{x + 2} \ge 4$. $$\sqrt{x + 2} \ge 4 \implies x + 2 \ge 16 \implies x \ge 14$$ اشتراک شرط‌ها: $x \in [-2, +\infty) \cap [14, +\infty) = [14, +\infty)$. $$\mathbf{D_{g \circ f} = [14, +\infty)}$$ --- ### ت) $f(x) = \sin x$ ; $g(x) = \sqrt{x}$ 1. **دامنه‌ها:** $D_f = \mathbb{R}$, $D_g = [0, +\infty)$. 2. **ضابطه $(g \circ f)(x)$:** $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sin x) = \mathbf{\sqrt{\sin x}}$$ 3. **دامنه $D_{g \circ f}$:** $D_{g \circ f} = \{ x \in D_f \mid f(x) \in D_g \}$ * $x \in \mathbb{R}$. * $f(x) \in [0, +\infty)$. یعنی $\sin x \ge 0$. $$\text{دامنه } D_{g \circ f} \text{ بازه‌هایی است که در آن } \sin x \ge 0 \text{ است.}$$ $$\mathbf{D_{g \circ f} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ,2k\pi ,\pi}$$